La formazione dell’ordine nei sistemi isolati macroscopici.

 

In uno studio precedente [1] ho mostrato come l’ipotesi ergodica di Boltzmann, di una possibilità di variazione dello stato complessivo di un sistema isolato, sia inammissibile perché essa comporterebbe la variazione della frequenza degli stati elementari, cioè una condizione di indipendenza statistica di questi ultimi che è invece di interdipendenza statistica, cioè dovuta ad azioni di scambio all’interno del sistema che lasciano inalterate le frequenze complessive di ogni stato elementare.Tale dimostrazione, condotta attraverso i metodi della matematica statistica, urta però contro una opposta dimostrazione condotta attraverso i metodi della meccanica razionale, costituita dal teorema di Liouville, cui si appoggiano coloro che sostengono l’opposta tesi [2].

L’obiettivo di questo studio è dunque quello di mostrare gli errori contenuti nella dimostrazione data da Liouville del teorema che porta il suo nome, risultato che, insieme a quello contenuto nello studio precedente, dovrebbe chiudere la questione.Verrà poi elaborata l’ipotesi relativistica che apre la strada alla soluzione del problema della formazione dell’ordine nei sistemi isolati macroscopici da cui in cascata può seguire la formazione dell’ordine in sottosistemi sempre più piccoli.

1 – Il teorema di Liouville

Consideriamo lo stato del sistema descritto da un punto nello spazio detto delle fasi o anche, a mio parere più correttamente, delle configurazioni, cioè in uno spazio a 2s coordinate, dove s è il numero dei componenti del sistema e dove per ogni componente si hanno due coordinate, una di posizione p e una di impulso q. L’insieme dei diversi stati attraversati in un intervallo di tempo sufficientemente lungo dal sistema sarà allora rappresentato da punti distribuiti nello spazio delle fasi con una densità proporzionale al valore della funzione di distribuzione µ(p,q) (per semplicità indichiamo, nell’argomento di µ con p e q le successioni dei valori delle coordinate di posizione pi e d’ impulso qi dei vari componenti).

Ora, i punti così ottenuti possono essere considerati, anziché la rappresentazione degli stati del sistema in diversi istanti, la rappresentazione di sistemi identici nello stesso istante (insieme statistico). Anche tale rappresentazione deve infatti rispettare la legge di distribuzione µ(p,q).Seguiamo allora l’ulteriore movimento dei punti dello spazio delle fasi che rappresentano gli stati dell’insieme durante un certo intervallo di tempo. E’ evidente che in tutti i successivi istanti t questi punti devono essere sempre distribuiti secondo la distribuzione µ(p,q), cioè i punti di fase si spostano in modo che la densità di distribuzione resti invariante nello spazio delle fasi.

Si può allora considerare, in modo del tutto formale, lo spostamento dei punti di fase come corrente stazionaria di gas nello spazio delle fasi a 2s dimensioni ed applicarvi l’equazione di continuità che esprime l’invarianza del numero totale dei componenti. Vale a dire:

i ∂(µvi)/∂xi = 0 (i = 1……..2s)                   (1)

dove in un gas µ sarebbe la densità e vi la velocità in direzione della coordinata xi.Nel nostro caso le coordinate xi corrispondono alle coordinate pi e qi dello spazio delle fasi e le velocità alle rispettive derivate rispetto al tempo pi e qi.

Quindi sostituendo nella (1):

i[∂(µq i)/∂qi + ∂(µpi)/∂pi] = 0      (i = 1…….s)           (2)

e, calcolando le derivate:

i[qi∂µ/∂qi + pi∂µ/∂pi]+ µ∑i[∂qi/∂qi + ∂pi/∂pi] = 0    (i=1…….s)     (3)

Scrivendo le equazioni della meccanica nella forma di Hamilton:

qi=∂H/∂pi, pi= -∂H/∂qi

dove H=H(p,q) è l’Hamiltoniana del sistema in esame, si vede che:

qi/∂qi = ∂2H/∂qi∂pi = – ∂pi/∂pi

e quindi il secondo termine al primo membro della (3) si annulla. Il primo termine è invece la derivata totale rispetto al tempo della funzione di distribuzione. Si ha quindi in definitiva:

dµ/dt = ∑i(∂µ/∂qi qi + ∂µ/∂pi pi) = 0                  (4)

dove l’eguaglianza fre il primo e l’ultimo membro della (4) esprime ancora la condizione iniziale di partenza che l’insieme si sposta lungo traiettorie dello spazio delle fasi che lascino costante la distribuzione di probabilità. La relazione (4) implica però in più che la funzione di distribuzione deve esprimersi con combinazioni delle variabili p,q che rimangano costanti durante il movimento del sistema nello spazio delle fasi, cioè attraverso invarianti meccanici o integrali primi delle equazioni del moto, cosicché è essa stessa un integrale primo delle equazioni del moto.

Tenendo presente che la distribuzione µ12per l’insiemedi due sottosistemi è pari al prodotto delle funzioni di distribuzione µ12 dei sottosistemi presi separatamente e che pertanto si ha:

lnµ12 = lnµ1 + lnµ2                           (5)

se ne deduce che il logaritmo della funzione di distribuzione è una grandezza additiva. Il logaritmo della funzione di distribuzione deve essere quindi non solo un integrale primo, ma anche un integrale primo additivo delle equazioni del moto.

Come è noto dalla meccanica, esistono tre integrali primi additivi indipendenti del moto: energia, impulso e momento angolare. Considerando il sistema nel suo insieme privo di moto di traslazione o di rotazione, l’integrale si riduce ad uno solo: l’energia. Pertanto, con riferimento ad un qualsiasi sottosistema a, la funzione di distribuzione deve essere del tipo:

lnµa = αa + βEa(p,q)                   (6)

dove αaè la costante di normalizzazione e β una costante che può essere determinata dal valore costante dell’integrale primo additivo dell’energia di tutto il sistema.

Ciò permette di ricavare una funzione di distribuzione semplice che soddisfa il teorema di Liouville per tutto il sistema isolato. Una tale distribuzione è µ = costante per tutti i punti dello spazio delle fasi corrispondenti ad un valore costante dell’energia del sistema e µ = 0 per tutti gli altri punti. Per conseguenza la funzione di distribuzione per l’intero sistema sarebbe del tipo:

µ = cδEo                            (7)

dove c è una costante e δ è una funzione che assicura l’annullamento di µ in tutti i punti dello spazio delle fasi in cui la grandezza E non sia eguale al suo valore assegnato Eo . Una simile distribuzione, che viene detta microcanonica, è il punto di partenza per il successivo sviluppo della distribuzione di Gibbs [3]. Considerando che certi punti dello spazio delle fasi rappresentano configurazioni complessive del sistema non distinguibili, cioè modalità differenti di ottenimento di una stessa configurazione del sistema, si ottiene in definitiva una distribuzione che rispecchia quella di Boltzmann.

Vi è però una importante differenza: la considerazione della necessità di un movimento, di una traiettoria percorsa nello spazio delle fasi fra gli stati espressi dalla (7) implica che la traiettoria nello spazio delle fasi del punto rappresentativo dello stato di un sistema isolato in un intervallo di tempo sufficientemente lungo debba necessariamente passare per ogni punto che abbia il dato valore costante di µ .

Il movimento del sistema nello spazio delle fasi avrebbe quindi un andamento approssimativamente ciclico, ripetitivo, oscillatorio, che implicherebbe il necessario passaggio per certi stati che avrebbero la capacità di innescare una evoluzione verso l’ordine.

2 -Critica del teorema

La critica che può effettuarsi poggia su tre piani: sul piano epistemologico, sul piano della matematica statistica e sul piano della fisica statistica.

Sul piano epistemologico rilevo che la metodologia scientifica richiede che ove all’impostazione di una ipotesi faccia seguito lo sviluppo di una teoria, i risultati ottenuti debbano essere controllati dall’esperienza e, se non confermati, l’ipotesi debba venire respinta. Se invece i dati di partenza costituiscono una realtà già acquisita, gli ulteriori risultati ottenuti mediante processi matematici rigorosi, acquisiscono lo stesso livello di verità dei dati di partenza, ma questo non è il caso del teorema di Liouville.

Nel suo ragionamento Liouville parte dalla considerazione dell’esistenza di una molteplicità di stati complessivi attraversati dal sistema, dando quindi per scontata la presenza sia di tali stati alternativi che del moto di passaggio dall’uno all’altro, laddove la loro esistenza costituisce solo una ipotesi, anzi addirittura la materia del contendere. Le conclusioni ottenute andrebbero quindi confrontate con la realtà, ma tutti i risultati finora ottenuti in fisica statistica dallo studio di particolari sistemi non hanno confermato la validità dell’ipotesi ergodica nei sistemi isolati in equilibrio statistico; citiamo fra gli altri i lavori di Poincaré e di Fermi [4]. E ciò malgrado le configurazioni alternative distinguibili dovrebbero presentarsi, secondo le conclusioni della teorema, con una frequenza abbastanza elevata.

 Sul piano della matematica statistica, la presenza di configurazioni alternative comporta che le particelle elmentari abbiano un qualche grado di libertà nella determinazione del loro stato, cioè che siano statisticamente indipendenti, cosa che ho dimostrato non esistere nel mio citato lavoro.

Infine, per quanto riguarda la fisica statistica consideriamo la relazione (4) della dimostrazione di Liouville, che qui riportiamo:

dµ/dt = ∑i(∂µ/∂qi qi + ∂µ/∂pi pi) = 0                  (4)

Perché si abbia una variazione della configurazione del sistema occorre che si abbia un variazione della struttura delle forze agenti. In un sistema isolato costituito da un gas perfetto gli unici eventi che possono indurre una modificazione della struttura delle forze sono costituiti dagli urti. Poiché gli urti coinvolgono almeno due punti materiali, ai fini della valutazione degli effetti sul sistema occorre considerare quale mutamento comporta la somma dei mutamenti intervenuti in ambedue i punti che costituiscono a tal fine un unico evento che si produce simultaneamente in entrambi. Potremo quindi considerare la somma degli effetti di tutti gli urti che avvengono in un determinato intervallo temporale nel sistema

Applichiamo allora la (4) alle coppie di punti in collisione che indicheremo con i pedici i e i+1. In ognuno dei due punti, per il principio della conservazione della quantità di moto, si verifica una variazione eguale e contraria della quantità di moto, cosicché la variazione complessiva della quantità di moto relativa alla coppia, cioé l’impulso qi +qi+1dovuto all’urto, è nullo e per conseguenza lo è anche la sua derivata. Il primo termine al secondo membro della (4) è quindi nullo e sono per conseguenza possibili solo i movimenti consentiti dalle forze agenti che implicano lo scambio di quantità di moto e quindi di posizione, cioè quelle che vengono indicate come permutazioni e che se i punti materiali componenti il sistema sono indistinguibili, non determinano la modificazione della configurazione. Esiste quindi una ed una sola configurazione possibile del sistema, quella di massima entropia e quindi la funzione di densità delle configurazioni µ introdotta da Liouvllle non può esistere, richiedendo l’esistenza di una molteplictà di configurazioni.

Nei gas reali esiste però ancora un altro potenziale, cioè un serbatoio di energia, che può produrre delle forze che potrebbero modificare il quadro delle interazioni fra i componenti del sistema. Esso è costituito dall’attrazione gravitazione verso il baricentro del sistema.

Estrapolando ai sistemi complessi lo schema di interazione fra due gravi di Newton, possiamo già dire intuitivamente che la variabile che così introduciamo determina una accelerazione dei punti materiali diretti verso il baricentro (direzione centripeta) e una corrispondente decelerazione dei punti materiali che si allontanano dal baricentro (direzione centrifuga) e che i due effetti sono equivalenti. Il problema è stato studiato nei suoi dettagli matematici da Maxwell e Boltzmann che hanno mostrato che le velocità si distribuiscono secondo la legge di Gauss, distribuzione che è simmetrica, cosicché nell’ambito dei valori delle grandezze fisiche che si incontrano nella realtà l’effetto differenziale svolto dall’attrazione gravitazionale è trascurabile. Non può istituirsi una corrente oscillatoria che procede dai valori più alti ai valori più bassi delle velocità e viceversa, attivata dall’attrazione gravitazionale come accade nello schema di Newton, perché, data la frequenza degli urti, ogni traiettoria che nasce da un urto viene quasi immediatamente spezzata dall’urto successivo. Il trasferimento avviene quindi attraverso una catena di collisioni e pertanto le differenze di velocità assumono un certo grado di ripartizione omogenea nel sistema.

3 – La soluzione relativistica

L’impossibilità della formazione dell’ordine in un sistema isolato in equilibrio statistico viene in definitiva fatta risalire alla presenza di quelli che Prigogine ha chiamato “vincoli di simmetria”, dovuti agli urti, da cui consegue l’ assenza di “gradi di libertà configurale del sistema” [5].

Per la formazione dell’ordine in un sistema isolato si richiede quindi, come è ovvio, che il sistema non sia in equilibrio statistico ma che la condizione oscillatoria fra fasi di espansione e di compressione, dovuta al gioco dell’alternanza delle due forme dell’energia, cinetica e potenziale, che abbiamo visto esistere già in nuce nella distribuzione delle velocità di Maxwell e Boltzmann, assuma un maggior rilievo.

Nei sistemi isolati, comunque, se l’energia cinetica massima del sistema è inferiore ad un certo valore, detto di “fuga” all’ aumentare dell’ espansione, che comporta un allontanamento dei componenti del sistema dal centro di gravità, si verifica una diminuzione dell’energia cinetica dei componenti per effetto dell’azione frenante svolta dall’attrazione gravitazionale e per conseguenza si raggiunge un punto in cui l’energia cinetica centrifuga si esaurisce e rinasce nuovamente come energia cinetica centripeta per effetto dell’attrazione graviazionale; il movimento cioè si inverte da espansione a compressione.

Senza entrare in particolari dettagli per i quali rimando ad un altro lavoro [6], durante l’espansione non di fuga, l’interazione attrattiva fra i componenti posti ad eguale distanza dal baricentro decresce per effetto dell’aumento della reciproca distanza più di quanto decresca l’attrazione verso il baricentro. La struttura direzionale dell’energia assume quindi gradualmente una direzionalità esclusivamente centripeta, condizione che impedisce la formazione della complessa struttura di interdipendenza delle variabili agenti che costituisce l’ordine.

D’altra parte, un sistema che, nella condizione di espansione, abbia un valore massimo dell’ energia cinetica superiore al valore di fuga, in cui cioè l’attrazione gravitazionale diviene trascurabile quando l’energia cinetica ha ancora valori finiti, si trasformerebbe, in assenza di trasformazioni relativistiche, in un sistema in espansione in cui i componenti, procedendo inerzialmente, si allontanerebbero l’uno dall’altro senza che di questo processo potrebbe intravedersi la fine.

Secondo la teoria della relatività invece, durante l’espansione di qualsiasi sistema, si ha la trasformazione dell’energia cinetica in massa che ha natura accumulativa e che alla lunga determina il suo esaurimento e l’avvio di un processo di contrazione, tale processo si verifica anche nel caso dell’espansione di fuga, sia pure raggiungendo il punto di inversione a distanze enormemente più grandi. E’ chiaro che, nel caso della espansione di fuga, sia la dimensione della energia cinetica richiesta che la dimensione spazio-temporale in cui si realizza la trasformazione dell’energia, limitano le possibilità di tale processo oscillatorio ai soli sistemi macroscopici, astronomici, in cui si determini una esplosione iniziale di enorme potenza.

Secondo gli schemi teorici generalmente accettati, prima che venga raggiunta una configurazione ordinata ogni galassia può essere considerata come un sistema termodinamico, ossia come un sistema composto da un gran numero di componenti elementari in moto disordinato lungo tutte le direzioni possibili e in cui vi sia conseguentemente un’alta frequenza di urti. Essa può essere quindi considerata un sistema isolato macroscopico in cui può realizzarsi il processo oscillatorio comprendente l’espansione di fuga.

Si può allora mostrare che, durante la fase espansiva di questo processo oscillatorio si realizza una amplissima variabilità configurale. È infatti evidente che, per l’aumento della distanza dei componenti dal baricentro che porta ad una riduzione dell’attrazione gravitazionale verso di esso e ad una diminuzione della frequenza degli urti, per l’aumento della interazione gravitazionale fra i componenti del sistema dovuta alla trasformazione dell’energia cinetica in massa, si realizza una tale continua modificazione della struttura delle forze agenti da giustificare la più ampia variabilità delle configurazioni.

Con ciò non si intende affatto affermare che la formazione dell’ordine sia una conseguenza immediata della realizzazione di una variabilità configurale. Ciò che può verosimilmente attendersi è la realizzazione di un caos deterministico dovuto al mutamento continuo delle condizioni di interazione e in cui comincino a mostrarsi certe regolarità che possono, in adatte condizioni e luoghi particolari evolvere verso la stazionarità.

Certamente, il campo di indagine che così si apre alla ricerca è enorme e non desidero in questa sede procedere ad alcun approfondimento, ma solo sottolineare alcuni aspetti che mi sembrano di particolare interesse ai fini dello sviluppo dello studio dei sistemi complessi.

L’espansione è accompagnata da una variabilità configurale che mostra una prevalenza della componente espansiva della direzione del movimento dei componenti. Essa implica che una parte notevole delle particelle assumano gradualmente una comune direzione di moto, assumano cioè un certo grado di parallelismo motorio. Come è noto dal principio di relatività, l’energia cinetica relativa ad una velocità comune è come inesistente ai fini delle interazioni fra i componenti, non fa cioè parte dell’energia interna del sottosistema composto da tali componenti. Essa non può pertanto ostacolare l’accostamento dei componenti che si muovono parallelamente dovuto alle interazioni gravitazionali fra di loro progressivamente crescenti per l’aumento della massa e per l’intervento dell’attrazione elettromagnetica che tale accostamento rende possibile, permettendo così la formazione di aggregati.

È infatti ormai riconosciuto che i processi di aggregazione che si svolgono nelle grandi strutture astronomiche richiede di non considerare perfettamente rigide le particelle che le costituiscono e che vi sia una grande presenza di ioni, così da essere soggette al fenomeno dell’”incollamento” che comporta l’acquisizione di caratteristiche di resistenza agli urti da parte degli aggregati elementari. Chiaramente, man mano che aumenta la dimensione degli aggregati, il successivo accrescimento diviene più facile in vista della maggiore forza attrattiva nei confronti delle particelle connessa all’aumento della massa.

Durante la fase di espansione, tale processo di aggregazione e incollamneto, esaltato dalla trasformazione dell’energia dei componenti in massa, con il conseguente aumento delle relative interazioni gravitazionali, porta necessariamente i sistemi macroscopici quali le nebulose a raggiungere quel rapporto critico fra massa ed energia che porta al collasso gravitazionale, dando così luogo al ripetersi dell’esplosione.

La variabilità configurale del sistema permette alle particelle di trovare poli di aggregazione alternativi nelle traiettorie circolari o ellittiche attorno agli aggregati principali, cioè formati per aggregazione nella direzione espansiva, in vista del fatto che in tali traiettorie si realizza l’equilibrio fra le forze di attrazione e di rifiuto nei confronti degli aggregati principali, condizione che ne determina una maggiore stabilità e quindi ancora una emersione selettiva. Vi sono diverse teorie su come si realizza la formazione di questi moti orbitali ed io stesso mi sono cimentato su questo argomento [7]; qui segnalo solo l’importanza di questo problema, che possiamo definire di formazione degli equilibri dinamici perché esso è paradigmatico nei confronti di molte situazioni che si incontrano nello studio dei sistemi complessi.

4 – Generalizzazione dei risultati.

Lo schema organizzativo esposto per l’evoluzione delle galassie rappresenta uno schema basilare di interazione che opera in tutti i processi organizzativi, quindi anche in quelli in cui la variabilità configuale è indotta da un’azione proveniente dall’esterno. Tale schema vede la sovrapposizione di due tipi di energia, attrattiva e repulsiva, che si manifestano sia nel campo gravitazionale che in quello elettromagnetico.

Newton, come è noto, non ha introdotto esplicitamente un campo repulsivo contrapposto al campo gravitazionale. Alieno ad introdurre ipotesi che non avessero un immediato riscontro con la realtà, così da apparire quasi delle semplici constatazioni (hypotheses non fingo), si limitò ad introdurre un corpo ideale, perfettamente rigido, per il quale enunciò il terzo principio della dinamica, secondo cui ad ogni azione corrisponde una reazione eguale e contraria. Ai fini dello sviluppo di una teoria generale dell’organizzazione è invece opportuno interpretare tale reazione come dovuta ad un campo repulsivo immaginabile come una molla che si carica di energia potenziale in corrispondenza dell’urto, per restituirla immediatamente come energia di allontanamento.

Lo studio che abbiamo fatto permette di sottolineare l’importanza di tre processi che appaiono essere fondamentali in tutti i processi di organizzazione cui dà luogo la sovrapposizione dei campi di forza; sono i processi selettivo, aggregativo e di formazione di equilibri dinamici.

L’azione selettiva è fondamentale perché si tratta dell’azione svolta dalla forza esterna che abbiamo visto essere necessaria perché si innesti la variabilità configurale. Il flusso di energia proveniente dall’esterno impone la sua direzione di flusso ad un certo numero di componenti del sistema ed in tal maniera rompe gli equilibri esistenti creando così un disequilibrio e quindi una variabilità configurale che tende, secondo il postulato di Carnot, verso una nuova condizione di equilibrio.

Tale azione rende più probabile l’accostamento di elementi dotati delle caratteristiche selezionate e lo sviluppo di interazioni fra di essi che nel caso preso in esame abbiamo definito, a seconda dell’intensità delle forze aggregative, di aggregazione e di incollamento. Questo processo è creatore di una realtà nuova in cui gli effetti della selezione sono amplificati (sinergia) e resi autonomi dall’azione iniziale.

Si formano infatti oggetti viaggianti nella direzione inizialmente indotta dalla selezione e che, per effetto sia della maggiore rigidità dovuta all’incollamento che della dimensione della massa complessiva, resistono agli urti con i componenti dotati di moto contrario ed anzi impongono la loro direzione di moto così da determinare, se raggiungono una certa dimensione e rigidità (principio di organizzazione di Prigogine) la persistenza della prevalenza direzionale indotta dall’azione selettiva anche quando questa cessa.

L’importanza della selezione, della sinergia e della dialettica nella creazione della realtà è estrema. Questi strumenti organizzativi, che agiscono iterativamente sovrapponendosi in fasi successive del processo hanno effetti creativi straordinari in quanto produttori di nuove entità ove gli elementi costituenti non sono più riconoscibili. Nuove entità, con qualità assolutamente nuove, scaturiscono ovviamente dalla estensione dei concetti di sinergia e di sintesi ai processi chimici, alle interazioni di forma, in tutti i tipi di interazione che l’accostamento e la codirezionalità o la complementarietà rendono possibili. È quella che Corning chiama la “magia della natura” [8].

Bibliografia

[1]- Firrao S.: Sull’entropia statistica di Boltzmann; Cybernetics and systems,5,20, set. 89

[2]- Lifsits E.M., Landau L.D.:Fisica Statistica it. Ed. Editori Riuniti, Bologna, 1978, pag,23

[3]– Gibbs J.W.:Principles of Statistical Mechanics;, New Haven, 1948

[4]– Toda M, Kubo R., Saito N.:Statistical Physics 1, Springer Verlag, Berlin, 1983, pag. 204

[5]– Prigogine I., Nicolis G.: Self-Organization in Non equilibrium Systems Wiley, New York, 1977

[6]- Firrao S: Development of oscillatory processes in isolated high energy systems, Cybernetica, vol. XXXI, n.4, 1988

[7]- Firrao S. Dynamic equilibria generation in Nonequilibrium systems Cybernetics and Systems, 22, 1991,

[8]-Corning P.:Nature’s magic, synergy in evolution and the fate of humankind,  Cambridge, Univesity Press, 2003 

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